实数的阿基米德性质
1、R是实数，在数学中R代表实数集，实数集包含所有有理数和无理数的集合，通常用大写字母R表示。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。
2、另一种思路是把连续分成完备和“构成一条直线”这两件事，完备用柯西收敛准则（列紧性）来描述，但是完备不代表就是实数了：R2这样的平面也是完备的，还需要有一条公理来描述实数这种“对应到数轴”这样的一维特性，这才构成完整的实数连续性
3、(2)任何非0实数a,都有倒数1/a；
4、阿基米德性实数系的重要性质之一指对任意两正数x及实数y，存在正整数n，使nx>y.在几何上这意味着，无论多长的线段，都能用有限条不管多短的等长线段覆盖;换句话说，无论采用多短的线段作单位，都能在有限次内把无论多长的线段量完.这个性质是阿基米德CArchimedes)在其著作《论球与圆柱体》中明确的.
5、基本概念 实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。 数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母R或R^n表示。而R^n表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 ①相反数（只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a ②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是： |a|=①a为正数时，|a|=a ②a为0时，|a|=0 ③a为负数时，|a|=-a ③倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a（a≠0）4、相关性质 基本运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。 完备性 作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质： 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。 有理数集合就不是完备空间。例如，(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,...)是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限√2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。 极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。 “完备的有序域” 实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z+1将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。 “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是R的子域。这样R是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。 高级性质 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。 所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。这表明R上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于R。这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1.Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2.超实数的集合远远大于R，但也同样满足和R一样的一阶逻辑命题。满足和R一样的一阶逻辑命题的有序域称为R的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在R中证明要简单一些），从而确定这些命题在R中也成立.这是最全面的.
6、阿基米德性是连续性的另外一种描述。我们描述实数的时候，一种思路是直接说实数和直线上的点一一对应，这样我们一次性说清了连续这件事，戴德金分割的方法就是这种思路，数轴上随便切一刀，一定恰好切到一个实数。
7、(3)正实数的绝对值是它本身;负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;
8、亚里士多德用穷举法计算正多边形内接圆的面积，这是一个非正式的极值的例子，而极值也是数学分析的基本概念之一
9、贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。到了19世纪，柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上。他还开始了复分析的形式理论。泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。
10、数学分析（mathematicalanalysis）是分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学、无穷级数和解析函数等的一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数、测度和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科，也是大学数学专业的一门基础课程。
11、所有实数的集合则可称为实数系（realnumbersystem）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
12、在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和。再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式。他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。在古印度数学的早期，12世纪的数学家婆什迦罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理。
13、任意实数有以下的特性:
14、(1)任何实数a,都有一个相反数-a；
15、历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。在17、18世纪，数学分析的主题，如变分法，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。
16、在十九世纪末时，也发现了许多病态函数，像是处处不连续函数、处处连续但处处不可微分的魏尔斯特拉斯函数以及空间填充曲线等，卡米尔·若尔当发展了若尔当测度，而格奥尔格·康托尔提出了现在称为朴素集合论的理论，勒内-路易·贝尔证明了贝尔纲定理。在二十世纪初期，利用公理化的集合论将微积分进行形式化，昂利·勒贝格解决了量测问题，大卫·希尔伯特导入了希尔伯特空间来求解积分方程。赋范向量空间的概念已经提出，1920年代时斯特凡·巴拿赫创建了泛函分析。
17、r是任意实数。
18、实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
19、在那个世纪的中叶，黎曼引入了他的积分理论。在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔施特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并导入了极限的(ε,δ)定义。此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。戴德金用戴德金分割构造了实数。大约在那个时候，对黎曼积分精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。
20、另一种思路是把连续分成完备和“构成一条直线”这两件事，完备用柯西收敛准则（列紧性）来描述，但是完备不代表就是实数了：[公式]这样的平面也是完备的，还需要有一条公理来描述实数这种“对应到数轴”这样的一维特性，这才构成完整的实数连续性。
21、数学分析研究的内容包括实数、复数、实函数及复变函数，数学分析的方式和其几何有关，不过只要任一数学空间有定义邻域（拓扑空间）或是有针对两物件距离的定义（度量空间）。
22、材料分析教材地位、作用本课题是在学过力、二力平衡、密度和液体内部压强的基础上来研究浮力的问题:认识浮力的存在,探索浮力的规律.这是对前面知识的综合和深化.而浮力现象是学生在生活中比较熟悉的,也是他们容易发生兴趣的现象.因此教学中可利用学生的心理特征,激发学习兴趣;并在探索浮力规律的过程中,培养学生的科学态度
23、(4)正实数都大于0,负实数都小于0;两个正实数,绝对值大的数大;两个负实数,绝对值大的反而小。
24、实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
25、r是实数。
26、准确地说，R代表实数集(全体实数)。实数的英文是realnumbers。
27、实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
28、原理:貌似是连续性的另外一种描述。我们描述实数的时候，一种思路是直接说实数和直线上的点一一对应，这样我们一次性说清了连续这件事，戴德金分割的方法就是这种思路，数轴上随便切一刀，一定恰好切到一个实数。
29、实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
30、教学设想根据学生掌握基础知识的程度和抽象思维能力的发展情况,积极引导学生应用已掌握的基础知识,用科学的观点和态度来观察、感知和探索,认真地思考,主动地学习,鼓励学生大胆猜想和预测,提出自己的疑问和问题,后通过讨论、实验来解决问题.使学生逐渐认从生活经验中得到的认识,有些并不是正确的,而需要采用科学方法——实验
实数的阿基米德性质
31、实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。实数的特性就是实在点数。